\section{矩阵的运算}

\begin{frame}
现在我们来定义矩阵的运算， 可以认为它们是矩阵之间一些最基本的关系。
下面要定义的运算是矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置。
这些运算很大程度上可以类比于数的运算（回顾数的运算的性质：交换律、结合律、分配律；\emph{回顾结合律的好处}）。

为了确定起见， 我们取定一个数域 $P$, 以下所讨论的矩阵全是由数域 $P$ 中的数组成的。
\end{frame}


\begin{frame}{加法}

  \begin{definition}%定义1 
  设
\[
  \begin{aligned}
     A=\left(a_{i j}\right)_{s \times n}=\begin{pmatrix}
      a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
  \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n}
\end{pmatrix}, \quad
 B=\left(b_{i j}\right)_{s \times n}=\begin{pmatrix}
  b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{s 1} & b_{s 2} & \cdots & b_{s n}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
是两个 $s \times n$ 矩阵， 则矩阵
\[
   C=\left(c_{i j}\right)_{s \times n}=\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{s \times n}=\begin{pmatrix}
    a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1 n}+b_{1 n} \\
  a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2 n}+b_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{s 1}+b_{s 1} & a_{s 2}+b_{s 2} & \cdots & a_{s n}+b_{s n}
\end{pmatrix}
\]
称为 $ A$ 和 $ B$ 的\emph{和}，记为
\[
C=A+B .
\]
\end{definition}

矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。 当然， 相加的矩阵必须要有相同的行数和列数， 这样的矩阵称为\emph{同型矩阵}。 
\end{frame}

\begin{frame}
  由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法， 也就是数的加法， 所以，不难验证， 它有
  \begin{observation*}[矩阵加法的性质]
    \[
  \begin{aligned}
    A+( B+C)&= ( A+ B)+ C \quad (\text{结合律})\\
    A+B&= B+A \quad (\text{交换律}).
\end{aligned}
  \]
\end{observation*}

\pause
元素全为零的矩阵称为\emph{零矩阵}， 记为 $O_{s \times n}$, 在不致引起含混的时候， 可简单地记为 $O$. 
\pause
显然， 对所有的 $ A$,
\[
A+O=A.
\]

\pause
矩阵
\[
  \begin{pmatrix}
    -a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1 n} \\
  -a_{21} & -a_{22} & \cdots & -a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
-a_{s 1} & -a_{s 2} & \cdots & -a_{s n}
\end{pmatrix}
\]
称为矩阵 $ A$ 的\emph{负矩阵}， 记为 $- A$. 
\pause
显然有
\[
 A+(- A)=O.
\]
\pause
矩阵的\emph{减法}定义为
\[
 A- B= A+(- B) .
\]
这样减法是加法的逆运算。
%例如， 在 $\S 1$ 我们看到， 某一种物资如果有 $s$ 个产地， $n$ 个销地， 那么一个调运方案就可表示为一个 $s \times n$ 矩阵，矩阵中的元素 $a_{i j}$ 表示由产地 $A_{i}$ 运到销地 $B_{j}$ 的这种物资的数量， 比如说吨数。 如果从这些产地还有另一种物资要运到这些销地， 那么， 这种物资的调运方案也可表示为一个 $s \times n$ 矩阵。 于是从产地到销地的总的运输量也表示为一个矩阵。 显然， 这个矩阵就等于上面两个矩阵的和。
\end{frame}

\begin{frame}{数量乘法}


\begin{definition}%定义4 
矩阵
\[
  \begin{pmatrix}
    k a_{11} & k a_{12} & \cdots & k a_{1 n} \\
  k a_{21} & k a_{22} & \cdots & k a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
k a_{s 1} & k a_{s 2} & \cdots & k a_{s n}
\end{pmatrix}
\]
称为矩阵 $ A=\left(a_{i j}\right)_{s \times n}$ 与数 $k$ 的\emph{数量乘积} (简称\emph{数乘}）， 记为 $k  A$. 
  换句话说， 用数 $k$ 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上 $k$.
\end{definition}
\pause
\begin{observation*}[数乘的性质]
\begin{align*}
  (k+l)  A&= k  A+l  A,\quad (\text{分配律})  \tag{11}\\
k( A+ B)&= k  A+k  B,\quad (\text{分配律})  \tag{12}\\
k(l  A)&= (k l)  A, \quad (\text{结合律}) \tag{13}\\
1  A&=  A.  \tag{14}
\end{align*}
\end{observation*}
留给读者证明。
\end{frame}


\begin{frame}{乘法}

在给出乘法定义之前， 我们先看一个引出矩阵乘法的问题。

设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 和 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 是两组变量，它们之间的关系为
\[
  \begin{cases}
    x_{1}=a_{11} y_{1}+a_{12} y_{2}+a_{13} y_{3},  \tag{1}\\
  x_{2}=a_{21} y_{1}+a_{22} y_{2}+a_{23} y_{3}, \\
x_{3}=a_{31} y_{1}+a_{32} y_{2}+a_{33} y_{3}, \\
x_{4}=a_{41} y_{1}+a_{42} y_{2}+a_{43} y_{3} .
\end{cases}
\]
\pause
又如 $z_{1}, z_{2}$ 是第三组变量， 它们与 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的关系为
\[ \tag{2}
  \begin{cases}
    y_{1}=b_{11} z_{1}+b_{12} z_{2}, \\
  y_{2}=b_{21} z_{1}+b_{22} z_{2}, \\
y_{3}=b_{31} z_{1}+b_{32} z_{2} .
\end{cases}
\]
\pause
由 (1),(2) 不难得出 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 与 $z_{1}, z_{2}$ 的关系：
\begin{align*}
x_{i} & =\sum_{k=1}^{3} a_{i k} y_{k}=\sum_{k=1}^{3} a_{i k}\left(\sum_{j=1}^{2} b_{k j} z_{j}\right)=\sum_{k=1}^{3} \sum_{j=1}^{2} a_{i k} b_{k j} z_{j} \\
& =\sum_{j=1}^{2} \sum_{k=1}^{3} a_{i k} b_{k j} z_{j}=\sum_{j=1}^{2}\left(\sum_{k=1}^{3} a_{i k} b_{k j}\right) z_{j}, \quad i=1,2,3,4 . \tag{3}
\end{align*}

\end{frame}

\begin{frame}

如果我们用
\begin{equation*}
x_{i}=\sum_{j=1}^{2} c_{i j} z_{j}, \quad i=1,2,3,4 \tag{4}
\end{equation*}
来表示 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 与 $z_{1}, z_{2}$ 的关系， 比较 (3), (4), 就有
\begin{equation*}
c_{i j}=\sum_{k=1}^{3} a_{i k} b_{k j}, \quad i=1,2,3,4 ; j=1,2 . \tag{5}
\end{equation*}
\pause
用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵
\[
 A=\left(a_{i k}\right)_{4 \times 3}, \quad  B=\left(b_{k j}\right)_{3 \times 2}
\]
分别表示变量 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 与 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 以及 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 与 $z_{1}, z_{2}$ 之间的关系，那么表示 $x_{1}$, $x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 与 $z_{1}, z_{2}$ 之间的关系的矩阵
\[
 C=\left(c_{i j}\right)_{4 \times 2}
\]
就由公式 (5) 确定。
\pause
矩阵 $ C$ 称为矩阵 $ A$ 与 $ B$ 的乘积， 记为
\[
C=A B .
\]
\pause
一般地，我们有


\end{frame}

\begin{frame}

\begin{definition}%定义2 
设
\[
 A=\left(a_{i k}\right)_{s \times n}, \quad  B=\left(b_{k j}\right)_{n \times m},
\]
那么矩阵
\[
C=\left(c_{i j}\right)_{s \times m},
\]
其中
\begin{equation*}
c_{i j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i n} b_{n j}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} b_{k j}, \tag{6}
\end{equation*}
称为 $ A$ 与 $ B$ 的\emph{乘积}， 记为
\[
C=A B.
\]
\end{definition}
\pause
由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵 $ A$ 与 $ B$ 的乘积 
$ C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素等于第一个矩阵 $A$ 的第 $i$ 行与第二个矩阵 $ B$ 的第 $j$ 列的对应元素乘积的和。 
当然， \emph{在乘积的定义中，我们要求第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等}；
以后我们写矩阵的乘积$AB$时默认此乘积是有意义的。

\pause
也可如下记忆乘积的规则：一行向量与一列向量相乘就是对应的元素相乘再相加（类似于点乘），
乘积$AB$的$(i,j)$元素是由$A$的第$i$行与$B$的第$j$列乘得的。

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}%例1 
    \label{196}
  设
\[
   A=\begin{pmatrix}
    1 & 0 & -1 & 2 \\
  -1 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 5 & -1 & 4
\end{pmatrix}, \quad  B=\begin{pmatrix}
  0 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 1 \\
3 & 1 & -1 \\
-1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\]
那么
\[
   C= A  B=\begin{pmatrix}
    1 & 0 & -1 & 2 \\
  -1 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 5 & -1 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  0 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 1 \\
3 & 1 & -1 \\
-1 & 2 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  -5 & 6 & 7 \\
10 & 2 & -6 \\
-2 & 17 & 10
\end{pmatrix} .
\]
乘积的矩阵中各个元素是根据公式 (6) 得出的，例如，第二行第一列的元素 $10$
是矩阵 $ A$ 的第二行元素与矩阵 $ B$ 的第一列对应元素乘积之和，即
\[
(-1) \times 0+1 \times 1+3 \times 3+0 \times(-1)=10.
\]
其余可类似得到。
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}%例3 
  在空间中作一坐标系的转轴。 设由坐标系 $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 到 $\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ 的坐标变换的矩阵为
\[
   A=\begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix},
\]
如果令
\[
   X_{1}=\begin{pmatrix}
    x_{1} \\
  y_{1} \\
z_{1}
\end{pmatrix}, \quad  X_{2}=\begin{pmatrix}
  x_{2} \\
y_{2} \\
z_{2}
\end{pmatrix},
\]
那么坐标变换的公式可以写成
%\[
$ X_{1}= A  X_{2}.$
%\]
\pause
如果再作一次坐标系的转轴： 设由第二个坐标系 $\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ 到第三个坐标系 $\left(x_{3}\right.$, $\left.y_{3}, z_{3}\right)$ 的坐标变换公式为
%\[
$ X_{2}= B  X_{3},$
%\]
其中
\[
   B=\begin{pmatrix}
    b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
  b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{pmatrix}, \quad  X_{3}=\begin{pmatrix}
  x_{3} \\
y_{3} \\
z_{3}
\end{pmatrix},
\]
那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为
\[
C=A B.
\]
\end{example}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{observation*}
  矩阵的乘法适合结合律：$(AB)C=A(BC)$.
\end{observation*}
\pause
\begin{proof}
设
\[
 A=\left(a_{i j}\right)_{s \times n}, \quad  B=\left(b_{j k}\right)_{n \times m}, \quad  C=\left(c_{k l}\right)_{m \times r},
\]
显然
$(A B) C$和$A(B C)$都是$s\times r$矩阵，要证明它们相等，只用证明对应的元素相等。
令
\[
\begin{gathered}
   V= A  B=\left(v_{i k}\right)_{s \times m}, \quad  W= B  C=\left(w_{j l}\right)_{n \times x_{r}},\quad  \text{其中} \\
    v_{i k}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} b_{j k}, \quad %\quad i=1,2, \cdots, s ; k=1,2, \cdots, m, \\
      w_{j l}=\sum_{k=1}^{m i} b_{j k} c_{k l}.      %, \quad j=1,2, \cdots, n ; l=1,2, \cdots, r .
    \end{gathered}
\]
$(A B) C=V C$ 和 $A(B C)=A W$
中的第 $i$ 行第 $l$ 列元素分别为
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{m} v_{i k} c_{k l}&= \sum_{k=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n} a_{i j} b_{j k}\right) c_{k l}=\sum_{k=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} b_{j k} c_{k l}, \tag{7} \\
\sum_{j=1}^{n} a_{i j} w_{j l}&= \sum_{j=1}^{n} a_{i j}\left(\sum_{k=1}^{m} b_{j k} c_{k l}\right)=\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{m} a_{i j} b_{j k} c_{k l}. \tag{8}
\end{align*}
因为双重连加号可以交换次序， 所以 (7) 与 (8) 的结果是一样的， 这就证明了结合律。
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  但是，\emph{矩阵的乘法不适合交换律}，即一般说来，
\(
 A B \neq  B A .
\)
\pause
这是由于，一方面在乘积中要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义。
所以，当 $A B$ 有意义时， $B A$ 不一定有意义。
\pause
另一方面即使 $A B$ 与 $B A$ 都有意义，它们的阶数也不一定相等， 
因为乘积的行数等于第一个因子的行数， 列数等于第二个因子的列数。 
如上面例~\ref{196}~中， $ A B$ 是一 $3 \times 3$ 矩阵，而 $ B A$ 是一 $4 \times 4$ 矩阵。 
\pause
即使相乘的矩阵都是 $n \times n$ 矩阵， 这时， $ A B$ 与 $ B  A$ 都有意义， 而且都是 $n \times n$ 矩阵， 它们也不一定相等。例如，
\[
  \begin{aligned}
     A &= \begin{pmatrix}
      1 & 1 \\
    -1 & -1
\end{pmatrix}, \quad  B=\begin{pmatrix}
  1 & -1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}, \\
 A  B &= \begin{pmatrix}
  1 & 1 \\
-1 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  1 & -1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}, \quad \text{而}\\
   B  A&= \begin{pmatrix}
    1 & -1 \\
  -1 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  1 & 1 \\
-1 & -1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  2 & 2 \\
-2 & -2
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
\pause
如果矩阵$A, B$真的满足$AB=BA$, 那么$A, B$称为\emph{可交换的}；
可交换的$A, B$必定是同阶方阵。
\pause
在上述例子中我们还看到， 两个不为零的矩阵的乘积可以是零， 这是矩阵乘法的一个特点。 
这也给出了 $A B= A C$ ($A\neq 0$) 时 $B \neq C$的例子，
因此\emph{矩阵乘法的 (这种样子的) 消去律不成立}，
读者由上面的例子的启发可以举出类似的例子。
\pause
(不像数的乘法中非零数即可逆，
  矩阵的乘法的逆运算可行的条件相比之下要复杂得多，我们会在 \S4 中谈可逆矩阵，
对可逆矩阵$A$, $AB=AC$或$BA=CA$蕴含了$B=C$. 
因此，矩阵乘法中消去律只是不像数的乘法中那样那么大程度地成立。)
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{observation*}
  矩阵的乘法和加法还适合分配律， 即
  \begin{align*}
  & A(B+C)=A B+A C,  \tag{9}\\
& (B+C) A=B A+C A . \tag{10}
\end{align*}
矩阵的乘法和数乘满足：
\[
  k( A  B)= (k  A)  B= A(k  B) . \tag{15}
\]
\end{observation*}
分配律的证明留给读者自己来做。 应该指出， 由于矩阵的乘法不适合交换律， 所以 (9) 与 (10) 是两条不同的规律。

\pause
  \begin{proof}
    我们只证明等式 (15). 设
\[
 A=\left(a_{i j}\right)_{s \times n}, \quad  B=\left(b_{j t}\right)_{n \times m},
\]
在 $k( A B),(k  A)  B,  A(k  B)$ 中， $(i, t)$ 元素依次为
\[
k \sum_{j=1}^{n} a_{i j} b_{j t}, \quad \sum_{j=1}^{n}\left(k a_{i j}\right) b_{j t}=k \sum_{j=1}^{n} a_{i j} b_{j t}, \quad \sum_{j=1}^{n} a_{i j}\left(k b_{j t}\right)=k \sum_{j=1}^{n} a_{i j} b_{j t} .
\]
显然它们是一样的，这就证明了等式 (15).
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}


\pause
对数的乘法有个特别的数$1$: 对任意的数$c$, $1\times c=c=c\times 1$. 
矩阵中也有这样的角色。

\begin{definition}%定义3 
  主对角线上的元素全是 $1$,其余元素全是 $0$ 的 $n \times n$ 矩阵
\[
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & \cdots & 0 \\
  0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
\]
称为 \emph{$n$ 阶单位矩阵}， 记为 $ E_{n}$, 或者在不致引起含混的时候简单记作 $ E$. 
\end{definition}

\pause
显然有
\[
 A_{s \times n}  E_{n}= A_{s \times n}, \quad  E_{s}  A_{s \times n}= A_{s \times n} .
\]

\pause
因此单位矩阵可以想成是数 $1$. 
注意用$E$表示单位矩阵不是一个常用记法，在大部分其他书上你可能见到的是$I$.
一方面，单位矩阵的英文是 identity matrix, 其首字母大写为 I;
另一方面，单位矩阵在矩阵乘法中的行为跟$1$在数的乘法中的行为一样，而 $I$ 像 $1$.

\pause
顺便提下，加法中像数$0$的是零矩阵$O$. 不仅$O+A=A=A+O$, 显然还有$OA=O=AO$, $kO=O$,
因此$O$在矩阵的运算中的行为和$0$在数的运算中的行为一样，我们常常也把零矩阵写作$0$.
\end{frame}


\begin{frame}{数量矩阵}

矩阵
\[
  k  E=\begin{pmatrix}
    k & 0 & \cdots & 0 \\
  0 & k & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & k
\end{pmatrix}
\]
通常称为\emph{数量矩阵}。 作为 (15) 的特殊情形， 如果 $A$ 是一 $n \times n$ 矩阵，那么有
\[
k  A=(k  E)  A= A(k  E) .
\]
这个式子说明，数量矩阵与所有的 $n \times n$ 矩阵作乘法是可交换的。
\pause
再有
\[
k  E+l  E= (k+l)  E, \quad
(k  E)(l  E)= (k l)  E,
\]
这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法。

~

\pause
\begin{exercise}
  如果一个 $n$阶矩阵与所有 $n$ 阶矩阵作乘法是可交换的， 那么这个矩阵一定是数量矩阵。
\end{exercise}
\end{frame}


\begin{frame}{方阵的幂、多项式}



我们还可以定义方阵的\emph{方幂}。 设 $ A$ 是一 $n \times n$ 矩阵， 定义
\[
  \begin{cases}
    A^{0}= E \\
    A^{k+1}=A^{k} A\quad (k\geqslant 0).
\end{cases}
\]
换句话说， $ A^{k}$ 就是 $k$ 个 $ A$ 连乘%
\footnote{无物相乘视为$1$, 无物相加视为$0$. 也就是说，$\prod_{i\in I} a_i$和 $\sum_{i\in I} a_i$在指标集$I$为空集时通常分别定义为$1, 0$. 这样的定义可以方便地用于统一说法。}。 
当然， 方幂只能方阵来定义。 
\pause
由乘法的结合律，不难证明，
\[
 A^{k}  A^{l}= A^{k+l}, \quad( A^{k})^{l}= A^{k l},
\]
这里 $k, l$ 是非负整数。 证明留给读者去做。 
\pause
因为矩阵乘法不适合交换律， 所以 $(A B)^{k}$与 $ A^{k}  B^{k}$ 一般地不相等。
\pause
当然，如果$A, B$可交换，我们熟悉的一些公式依然成立，如
\[
  \begin{aligned}
    (AB)^k &= A^kB^k,\\
    A^k-B^k&= (A-B)(A^{k-1}+A^{k-2}B+\cdots+AB^{k-2}+B^{k-1}), \\
    (A+B)^k&= \sum_{i=0}^k\binom{k}{i} A^iB^{k-i}.
  \end{aligned}
\]

\pause

\end{frame}


\begin{frame}

  进而我们可以定义方阵的多项式。给定方阵$A$, 形如
  \[
    c_0E+c_1A+\cdots + c_k A^k
  \]
  的矩阵称为 \emph{$A$的多项式}。
若令
\[
  f=c_0+c_1x+\cdots+c_k x^k\in P[x],
\]
则该$A$的多项式也可以看作把多项式$f$的符号$x$赋值为$A$所得，
因此我们也记该多项式为$f(A)$, 即
\[
  f(A)\eqdef c_0E +c_1A+\cdots + c_k A^k.
\]

多项式和方阵上都有加法、数乘、乘法。
容易发现赋值$x=A$与这些运算的相容性：
\[
\begin{aligned}
  (f+g)(A)&= f(A)+g(A), \\ (cf)(A)&= cf(A), \\ (fg)(A)&= f(A)g(A),
\end{aligned}
\]
其中$f, g\in P[x], c\in P$. 
\end{frame}

\begin{frame}
  例如，赋值与乘法的相容性可如下验证：
  令
  \(
    f=\sum a_i x^i, g=\sum b_i x^i,
  \)
  则
  \[
    fg=\sum a_ib_j x^{i+j}.
  \]
  代入$x=A$得
  \[
    fg(A)=\sum a_ib_j A^{i+j}.
  \]
  另一方面，由矩阵运算的性质可知
  \[
    f(A)g(A)= \left( \sum a_i A^i \right) \left( \sum b_i A^i \right) =\sum a_ib_j A^{i+j}.
  \]
  因此确有$fg(A)=f(A)g(A)$.
与乘法的相容性表明，由$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$可知
\[
  A^2-5A+6E=(A-2E)(A-3E);
\]
由$1-x^n=(1-x)(1+x+\cdots+x^{n-1})$可知
\[
  E-A^n=(E-A)(E+A+\cdots+A^{n-1}).
\]


\pause
由上面的相容性和多项式加法、乘法的交换性我们还有
\[
\begin{aligned}
f(A)+g(A)&= g(A)+f(A), \\
  f(A)g(A)&= g(A)f(A);
\end{aligned}
\]
即一方阵的任两个多项式的加法和乘法都是交换的。
当然这也容易直接验证。
%\begin{example}
%  设$f(x)=x^2-5x+6$, $A=\begin{pmatrix}
%    1 & 2 \\ -1 & 0
%  \end{pmatrix}$. 注意到$f(x)=(x-2)(x-3)$, 有
%  \[
%    f(A)=(A-2E)(A-3E)=\begin{pmatrix}
%      -1 & 2 \\ -1 & -2
%    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
%      -2 & 2 \\ -1 & -3
%    \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
%      0 & -8 \\ 0 & 8
%    \end{pmatrix}.
%  \]
%\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}{从矩阵的运算看线性方程组}
  如果 $A=\left(a_{i j}\right)_{s \times n}$ 是一线性方程组的系数矩阵，而
\[
   X=\begin{pmatrix}
    x_{1} \\
  x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{pmatrix}, \quad \beta=\begin{pmatrix}
  b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{s}
\end{pmatrix}
\]
分别是未知量和常数项所成的 $n \times 1$ 和 $s \times 1$ 矩阵，
\pause
那么线性方程组就可以写成矩阵的形式
\[
 A X=\beta.
\]
\pause
此时解就是满足$A\gamma=\beta$的列向量$\gamma$. 
\pause
以后我们也常用此矩阵的形式来表示一个线性方程组。一个齐次线性方程组可表示为
$AX=0$. 

\pause
我们可以用矩阵的运算来验证线性方程组的解的一些性质。
\pause
比如，
``齐次线性方程组的一些解的线性组合还是解''这个事实可用矩阵的形式如下证明：
若$\eta_1, \cdots, \eta_k$为$AX=0$的解，$c_1,\cdots,c_k\in P$,
则$A(\sum_{i=1}^k c_i \eta_i)=\sum_{i=1}^k c_i A\eta_i=0$, 故$\sum_{i=1}^k c_i \eta_i$是$AX=0$的解。
\pause
再比如，对一般的线性方程组$AX=\beta$, 若$\gamma_0, \gamma_1$为解，即$A\gamma_0=A\gamma_1=\beta$,
 则$A(\gamma_0-\gamma_1)=\beta-\beta=0$, 故$\gamma_0-\gamma_1$为导出组$AX=0$的解，
 这样我们得到了 ``$AX=\beta$的两个解的差是导出组的解'' 这个事实；
 \pause
 若$\gamma_0$为$AX=\beta$的解，$\eta$为$AX=0$的解，
 则$A(\gamma_0+\eta)=\beta+0=\beta$, 即$\gamma_0+\eta$为$AX=\beta$的解，
 这样我们得到了 ``$AX=\beta$的一解与$AX=0$的一解的和是$AX=\beta$的解''。

\end{frame}




\begin{frame}{转置}

  把一矩阵 $ A$ 的行列互换， 所得到的矩阵称为 $ A$ 的\emph{转置}， 记为 $ A^{\mathrm{T}}$. 
\pause
  可确切地定义如下：

\begin{definition}%定义5 
设
\[
   A=\begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n}
\end{pmatrix},
\]
所谓 $ A$ 的\emph{转置}就是指矩阵
\[
   A^{\rT}=\begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{s 1} \\
  a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{s 2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{s n}
\end{pmatrix} .
\]
显然， $s \times n$ 矩阵的转置是 $n \times s$ 矩阵。
\end{definition}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{observation*}[转置的性质]
  \begin{align*}
  \left( A^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}&=  A,  \tag{16}\\
( A+ B)^{\mathrm{T}}&=  A^{\mathrm{T}}+ B^{\mathrm{T}},  \tag{17}\\
(k  A)^{\mathrm{T}}&= k  A^{\mathrm{T}}, \tag{19} \\
( A  B)^{\mathrm{T}}&=  B^{\mathrm{T}}  A^{\mathrm{T}}.  \tag{18}
\end{align*}
\end{observation*}
\pause
\begin{proof}
  容易验证 (16), (17), (19). (16) 表示两次转置就还原，(17), (19)分别表示转置保持加法和数乘。 现在来看 (18). 设
% \[
%   A=\begin{pmatrix}
%     a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
%   a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
% \vdots & \vdots & & \vdots \\
% a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n}
% \end{pmatrix}, \quad  B=\begin{pmatrix}
%   b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 m} \\
% b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 m} \\
% \vdots & \vdots & & \vdots \\
% b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n m}
% \end{pmatrix} .
% \]
  $A=(a_{ij})_{s\times n}, B=(b_{ij})_{n\times m}$. 
  按定义$( A B)^{\mathrm{T}}$ 的 $(i, j)$ 元素等于 $AB$的$(j,i)$元素，即
  \begin{equation*}
    \sum_{k=1}^{n} a_{j k} b_{k i}. \tag{20}
  \end{equation*}
 其次， $ B^{\mathrm{T}}$ 的$(i, k)$ 元素是 $b_{k i}$, $ A^{\mathrm{T}}$ 的 $(k, j)$ 元素是 $a_{j k}$, 因之， $ B^{\mathrm{T}}  A^{\mathrm{T}}$ 的 $(i, j)$ 元素即为
  \begin{equation*}
    \sum_{k=1}^{n} b_{k i} a_{j k}=\sum_{k=1}^{n} a_{j k} b_{k i}. \tag{21}
  \end{equation*}
 比较 (20), (21) 即得(18). 
 \end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}%例4 
  设
\[
   A=(1,-1,2), \quad  B=\begin{pmatrix}
    2 & -1 & 0 \\
  1 & 1 & 3 \\
4 & 2 & 1
\end{pmatrix} .
\]
\pause
于是
\[
  \begin{gathered}
     A B=(1,-1,2)\begin{pmatrix}
      2 & -1 & 0 \\
    1 & 1 & 3 \\
  4 & 2 & 1
\end{pmatrix}=(9,2,-1), \\
 A^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}
  1 \\
-1 \\
2
\end{pmatrix}, \quad  B^{\rT}=\begin{pmatrix}
  2 & 1 & 4 \\
-1 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 1
\end{pmatrix} .
\end{gathered}
\]
\pause
所以
\[
   B^{\mathrm{T}}  A^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}
    2 & 1 & 4 \\
  -1 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  1 \\
-1 \\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  9 \\
2 \\
-1
\end{pmatrix}=(9,2,-1)^{\mathrm{T}}=( A  B)^{\mathrm{T}} .
\]
\end{example}
\end{frame}


\begin{frame}{小结}

  \begin{enumerate}
    \item 矩阵的加法、数乘、乘法、转置如何定义？各有什么的性质？这些运算之间又如何相容？
      相加的两个矩阵、相乘的两个矩阵各有何要求？
    \item 矩阵加法中行为像数的加法中$0$的是何矩阵？矩阵乘法中行为像数的乘法中$1$的是何矩阵？
    \item 何为数量矩阵？其运算性质如何？与所有$n$阶方阵交换的$n$阶方阵何样？
    \item 何为方阵的幂、方阵的多项式？
      何为多项式$f(x)\in P[x]$赋值符号$x$为一方阵？此赋值有何性质？
    \item 试用矩阵运算的性质推导（齐次或一般的）线性方程组的解的性质。
  \end{enumerate}
  
\end{frame}
